7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
素养目标·定方向
|
素养目标
|
学法指导
|
|
1．复数的三角表示.(数学抽象)
2．复数的代数表示与三角表示之间的关系.(数学运算)
3．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算与直观想象)
|
1．在复数几何意义的基础上感受复数的三角表示.
2．类比三角函数的单位圆定义体会复数三角表示的特征.
3．类比三角函数的特点，结合复数的几何意义，体会复数运算的三角表示与三角函数之间的关联.
|
必备知识·探新知
知识点1 复数的三角形式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成__r(cos θ＋isin θ)__的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的__辐角__，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称__三角形式__，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称__代数形式__.
知识点2 辐角主值
规定在__0≤θ<2π__范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作__arg_z__.
知识点3 复数三角形式的乘法
两个复数相乘，积的模等于各复数模的__积__，积的辐角等于各复数的辐角的__和__.
r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝__r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]__.
知识点4 复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的__商__，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的__差__.
＝__[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]__.
[知识解读] 1．复数三角式的特征
有三个特征：(1)r≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接.
2．辐角和辐角主值的区别与联系
区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.
联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
3．复数乘法运算三角表示的几何意义
复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2．
4．复数除法运算三角表示的几何意义
复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.
