1．4 两条直线的交点
知识点 两条直线的交点
[填一填]
(1)求法：用代数方法求两条直线的交点坐标，两直线方程联立方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系．
一般地，将直线l1和直线l2的方程联立，得方程组
当方程组有唯一解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标．
当方程组无解时，l1与l2平行．
当方程组有无数组解时，l1与l2重合．
[答一答]
如果一条直线的方程中含有一个参数，那么这条直线可能恒过一个定点，怎样求出定点的坐标呢？
提示：当方程中含有一个参数，直线l通常经过一个定点时，令参数取两个特殊值后得到两个直线方程，那么定点必在这两个方程表示的直线上．因此，转化为求这两条直线的交点，即得到的两个方程联立方程组，方程组的解就是直线l经过的定点的坐标．
1．两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．
(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.
2．过两条直线交点的直线系方程
(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的交点的直线为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为参数)，此方程表示的直线不包括直线l2.
(2)这个参数形式的方程在解题中很有用处，但在解题中要注意验证l2是否符合题意，否则会出现漏解情况.
类型一 两直线位置关系的判定
【例1】 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；
(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；
(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.
【解】 (1)解方程组得
所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交．
(2)解方程组
①×2得4x－6y＋10＝0.
因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)解方程组
①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
规律方法两条直线相交的判定方法
(1)联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
(2)两直线斜率都存在且斜率不等．
(3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在．
