6.1.2 导数及其几何意义
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.理解瞬时变化率、导数的概念．(重点、难点)
2．理解导数的几何意义．(重点、难点)
3．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．(易混点)
|
1.借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养．
2．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养.
|
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．你能计算出第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？
1．瞬时变化率与导数
(1)瞬时变化率：
一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，→k或＝k.
(2)导数
①f(x)在x0处的导数记作f′(x0)；
②f′(x0)＝ .
拓展：导数定义的理解
(1)函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在．
(2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.当Δx>0(或Δx<0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(或从左边)趋近于x0.
(3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
2．导数的几何意义
(1)割线的斜率
已知y＝f(x)图像上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
(2)导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(3)曲线的切线方程
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f(x)在某点处的导数是一个变量． ( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的物理量．
( )
(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点． ( )
(4)若函数y＝f(x)在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
D [结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选D.]
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝________.
2 [由导数的几何意义可知f′(1)＝2.]
4．质点M的运动规律为S＝4t2，则质点M在t＝1时的瞬时速度为________．
8 [ΔS＝S(1＋Δt)－S(1)＝4(1＋Δt)2－4＝4(Δt)2＋8(Δt)，
∴＝4(Δt)＋8.
∴ ＝8.]
