5．5 数学归纳法
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)
2.掌握数学归纳法的步骤．(难点)
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)
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1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养.
2.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养.
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一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下．
问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理．
数学归纳法的定义
一个与自然数有关的命题，如果
(1)当n＝n0时，命题成立；
(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立．
那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．
思考：数学归纳法的初始值n0一定是取1吗？
[提示] 不一定．n0的取值视具体情况而定．
拓展：数学归纳法两个步骤的联系：
第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． ( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. ( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验n＝3.]
3．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝( )
A．a1＋(k－1)d B.
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
C [假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.]
4．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_____．
[答案] ＋＋…＋＋>－.
5．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________．
1＋2＋3＋4 [当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.]
