5.4 数列的应用
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.正确理解分期付款的两种计算方式．(重点)
2.掌握政府支出的“乘数”效应的相关知识．(重点)
3.能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题．(难点、易错点)
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1.通过分期付款及政府支出的“乘数”效应的学习，培养逻辑推理的素养.
2.借助数列的递推关系解决数列问题，形成数学建模的素养.
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我国现代都市人的消费观念正在变迁——我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们生活，在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段，为迎合消费心理，商家各尽其能；但面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？
分期还款与数列
(1)等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．
(2)等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．
每期还款金额＝，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“等额本金还款法”中，每一期还款数构成一个等差数列． ( )
(2)“等额本息还款法”中，每一期还款数构成一个等比数列． ( )
(3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生“乘数”效应． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．某件产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a，则现在的成本是( )
A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3
C. D.
C [设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a，故x＝.]
3．(一题两空)(教材P43例1改编)自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还________元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约________元．(1.0510≈1.628 89)
29 000 25 901 [如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20 000＋(200 000－20 000)×5%＝29 000元．如果采用“等额本息还款法”每年应还≈25 901(元)．]
4．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革，大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共投入资金________万元．
(1.37－1) [设第n年投入资金为an万元，由题意可知an＋1＝an(1＋30%)＝1.3an.
∴{an}为首项a1＝500，公比为1.3的等比数列，
∴S7＝＝(1.37－1)．]
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等差、等比数列模型的应用
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【例1】 一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．
(1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？
(2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．
[解] (1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1＝15，d＝－2的等差数列，则
Sn＝na1＋d＝15n＋×(－2)
＝－n2＋16n.
当n＝8时，(Sn)max＝S8＝64.
即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米．
(2)不能超过．
由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1＝15，q＝0.8的等比数列，
则Sn＝＝＝75(1－0.8n)<75.
所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．
