5．3 等比数列
5．3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.理解等比数列的定义．(重点)
2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)
3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
|
1.通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的素养.
2.借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养数学运算的素养.
|
有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．(假设纸的厚度为0.1 mm)
这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下：
1,2,4,8,16,32,64,128，…
问题：该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系？是什么数列？
1．等比数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．
思考1：在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？
[提示] 一定不能为0.
拓展：对等比数列的定义的理解
(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．
(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．
2．等比数列的通项公式及其推广
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N*.
思考2：等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？
[提示] 不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数．
3．等比数列的单调性
等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列；
(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列；
(3)当q＝1时，数列为常数列；
(4)当q<0时，数列为摆动数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若an＋1＝qan，n∈N*且q≠0，则{an}是等比数列． ( )
(2)等比数列{an}中，an＝a1qn，n∈N*. ( )
(3)常数列一定是等比数列． ( )
(4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1
C [由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.]
3．下列数列为等比数列的是( )
A．2,22,3×22，…
B.，，，…
C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，…
D．0,0,0，…
B [结合等比数列的定义可知选项B正确．]
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
[法一：∵a2＝a1q＝2， ①
a5＝a1q4＝， ②
∴②÷①得：q3＝，∴q＝.
法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝⇒q＝.]
