第2课时 离散型随机变量的方差
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(重点)
2．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．(重点)
3．会用方差解决一些实际问题．(难点)
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1．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养．
2．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学运算的素养.
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山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示．
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甲的环数
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8
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9
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10
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P
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0.2
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0.6
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0.2
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乙的环数
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8
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9
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10
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P
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0.3
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0.4
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0.3
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问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分析，你认为派谁参加全运会更好一些？
1．离散型随机变量的方差与标准差
(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
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X
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x1
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x2
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…
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xk
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…
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xn
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P
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p1
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p2
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…
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pk
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…
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pn
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则D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝ni＝1[xi－E(X)]2pi，称为离散型随机变量X的方差；称为离散型随机变量X的标准差．
(2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)．
(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)．
2．两点分布及二项分布的方差
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(2)若随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
思考：两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系．
[提示] 由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，取n＝1，则D(X)＝p(1－p)就是两点分布的方差．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值． ( )
(2)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平． ( )
(3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平． ( )
(4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C [因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.]
3．若随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________.
1 [∵ξ～B，∴D(ξ)＝4××＝1.]
4．已知随机变量X的分布列为
则X的标准差为________．
[E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋
(5－3.2)2×0.5＝3.56.
∴X的标准差为＝＝.]
