4.1.3 独立性与条件概率的关系
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解独立性与条件概率的关系．(难点)
2．会求相互独立事件同时发生的概率．(重点)
3．综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题．(重点、难点)
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1．通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学抽象素养．
2．借助相互独立事件同时发生的概率公式解题，提升数学运算素养.
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俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”．其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%,40%,30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功．
问题：该挑战能否成功？
事件的独立性
(1)事件A与B相互独立的充要条件是
P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．
思考：如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立吗？
[提示] 成立．P(B|A)＝＝＝P(B)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于事件A，B，若P(B|A)＝P(A)，则事件A与B相互独立． ( )
(2)事件A，B相互独立，则事件A与也相互独立． ( )
(3)若P()＝P()P()，则事件与相互独立． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件 B．互斥事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
A [A1的发生与否对A2不产生影响，故选A.]
3．(教材P58练习AT4改编)已知A与B独立，且P()＝0.7，则P(A|B)＝________.
0.3 [∵P()＝0.7，∴P(A)＝1－0.7＝0.3，
又A与B独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.3.]
4．某人提出问题，甲先答，答对的概率是0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则该问题由乙答对的概率为________．
0.3 [由题意可知，甲答错，乙答对，故所求概率P＝(1－0.4)×0.5＝0.6×0.5＝0.3.]
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相互独立事件的判断
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【例1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)法一：记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.
∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
法二：由法一可知P(B|A)＝，
又P(B)＝＝，
∴P(B|A)＝P(B)，
∴事件A与B相互独立．
