第2课时 全概率公式、贝叶斯公式
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解并掌握全概率公式．(重点)
2．了解贝叶斯公式．(难点)
3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．(易错点)
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1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养．
2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养.
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有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
问题：如何求取得红球的概率？
1．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；
(2)定理1 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝∑,\s\up8(ni＝1＝∑,\s\up8(ni＝1.
思考：全概率公式体现了哪种数学思想？
[提示] 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．
2．贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝
＝.
(2)定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝＝P(Aj)P(B|Aj),\o(∑,\s\up8(ni＝1.
拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． ( )
(2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)． ( )
(3)P(A|B)＝＝. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
C [P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝×＋×＝.故选C.]
