第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)
2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．(难点)
3．掌握二项式定理的应用．(难点)
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1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养.
2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养.
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我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数．
(a＋b)0 1
(a＋b)1 1 1
(a＋b)2 1 2 1
(a＋b)3 1 3 3 1
(a＋b)4 1 4 6 4 1
(a＋b)5 1 5 10 10 5 1
问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？
1．二项式系数的性质
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．杨辉三角具有的性质
(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；
(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
(3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C，C，C，…，C，C，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． ( )
(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． ( )
(3)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )
A．1 B．－1
C．215 D．315
B [令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]
3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]
4．(教材P32尝试与发现改编)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________．
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
6 [由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.]
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求展开式的系数和
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【例1】 设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021·x2 021(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值．
[思路点拨] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．
[解] (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝－1－32 021，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝.
