规范练(五) 圆锥曲线
1．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且O·O＝－16，求证：直线AB恒过定点．
(1)解 设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1，∴x2＝8y.∴E的方程为x2＝8y.
(2)证明 设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将直线AB的方程代入x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.
O·O＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16，∴b＝4，所以直线AB恒过定点(0,4)．
2．如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．
