规范练(六) 函数与导数
1．已知函数f(x)＝ax2＋x－xln x.
(1)若a＝0，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围．
解 (1)当a＝0时，f(x)＝x－xln x，函数定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－ln x，由－ln x＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上是增函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
(2)由f(1)＝2，得a＋1＝2，∴a＝1，
∴f(x)＝x2＋x－xln x，
由f(x)≥bx2＋2x，得(1－b)x－1≥ln x.
又∵x＞0，∴b≤1－－恒成立．
令g(x)＝1－－，可得g′(x)＝，由g′(x)＝0，得x＝1.
