1．已知x＞0，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
解 ∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2
＝2x2(1－x2)(1－x2)•12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤122x2＋1－x2＋1－x233＝427.
当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时取等号．
∴y≤239.∴y的最大值为239.
2．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明 法一 构造两组数：a，b，c；1a，1b，1c.
因此根据柯西不等式有
[(a)2＋(b)2＋(c)2]1a2＋1b2＋1c2
≥a×1a＋b×1b＋c×1c2.
即(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥32＝9.
(当且仅当a1a＝b1b＝c1c，即a＝b＝c时取等号)．
又a＋b＋c＝1，所以1a＋1b＋1c≥9.
法二 ∵a，b，c均为正数，∴1＝a＋b＋c≥33abc.
又1a＋1b＋1c≥331abc＝33abc，
