3-2利用导数研究函数的性质
闯关密练特训
1.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f ″(x)＝(f ′(x))′，若f ″(x)>0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凹函数，以下四个函数在(0，)上是凹函数的是( )
A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x＋1 D．f(x)＝－xe－x
[答案] D
[解析] (1)若f(x)＝sinx＋cosx，则f ′(x)＝cosx－sinx，f ″(x)＝－sinx－cosx，∴f ″(x)>0在(0，)上不成立；
(2)若f(x)＝lnx－2x，则f ′(x)＝－2，f ″(x)＝－，f ″(x)>0在(0，)上不成立；
(3)若f(x)＝－x3＋2x＋1，则f ′(x)＝－3x2＋2，f ″(x)＝－6x，f ″(x)>0在(0，)上不成立；
(4)若f(x)＝－xe－x，则f ′(x)＝(x－1)e－x，f ″(x)＝(2－x)e－x，当x∈(0，)时，f ″(x)>0
