2013版《6年高考4年模拟》
第三章 导数及其应用
第一部分 六年高考荟萃
2012年高考题
1.[2012•广东卷] 曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
答案：y＝2x＋1 [解析] 根据已知曲线方程求导得：y′＝3x2－1，所以切线斜率k＝y′|x＝1＝3－1＝2，所以根据点斜式方程得：y－3＝2(x－1)，即方程为：y＝2x＋1.
2.[2012•辽宁卷] 已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
答案：－4 [解析] 本小题主要考查导数的几何意义的应用．解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率．由x2＝2y可知y＝12x2，这时y′＝x，由P，Q的横坐标为4，－2，这时P(4,8)，Q(－2,2), 以点P为切点的切线方程PA为y－8＝4(x－4)，即4x－y－8＝0①；以点Q为切点的切线方程QA为y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0②；由①②联立得A点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4.
3.[2012•浙江卷] 设a>0，b>0( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则aC．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a答案：A [解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a>2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，故A正确，B错误．其余选项用同样方法排除．
4.[2012•辽宁卷] 若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )
A．ex≤1＋x＋x2 B.11＋x≤1－12x＋14x2C．cosx≥1－12x2 D．ln(1＋x)≥x－18x2
答案：C [解析] 本小题主要考查导数与函数知识，属于导数在函数中的应用．解题的突破口为构造函数，借助导数工具来解决问题．
验证A，当x＝3时，e3>2.73＝19.68>1＋3＋32＝13，故排除A；验证B，当x＝12时，11＋12＝63，而1－12×12＋14×14＝1316＝3948＝152148<153648＝16648，故排除B；
