2012年高考题
1.[2012•广东卷] 如图1-5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.(1)证明:BD⊥平面PAC;(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.
图1-5
证明:(1)PC⊥平面BDEBD⊂平面BDE⇒PC⊥BD.PA⊥平面ABCDBD⊂平面ABCD⇒PA⊥BD.
∵PA∩PC=P,PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC.
(2)法一:如图所示,记BD与AC的交点为F,连接EF.
由PC⊥平面BDE,BE⊂平面BDE,EF⊂平面BDE,∴PC⊥BE,PC⊥EF.
即∠BEF为二面角B-PC-A的平面角.由(1)可得BD⊥AC,所以矩形ABCD为正方形,AB=AD=2,AC=BD=22,FC=BF=2.在Rt△PAC中,PA=1,PC=PA2+AC2=3,
即二面角B-PC-A的正切值为3.
法二:以A为原点,AB→、AD→、AP→的方向分别作为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
设AB=b,则:A(0,0,0),B(b,0,0),C(b,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
于是PC→=(b,2,-1),DB→=(b,-2,0).因为PC⊥DB,所以PC→•DB→=b2-4=0,
从而b=2.结合(1)可得DB→=(2,-2,0)是平面APC的法向量.
现设n=(x,y,z)是平面BPC的法向量,则n⊥BC→,n⊥PC→,即n•BC→=0,n•PC→=0.
因为BC→=(0,2,0),PC→=(2,2,-1),所以2y=0,2x-z=0.
取x=1,则z=2,n=(1,0,2).令θ=〈n,DB→〉,则