11-3 推理与证明
1.(文)(2011•江西文，6)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )
A．01 B．43
C．07 D．49
[答案] B
[解析] 75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，
∵2011＝502×4＋3，
∴72011与73末两位数字相同，故选B.
(理)(2011•山东济宁一模)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2010，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2011(x)＝( )
A．sinx＋ex B．cosx＋ex
C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex
[答案] D
[解析] f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋2010x2009，
f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2010×2009x2008，
f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2010×2009×2008x2007，
f4(x)＝f3′(x)＝sinx＋ex＋2010×2009×2008×2007x2006，
由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；
而f2011(x)＝f ′2010(x)，此时其最后一项的导数将变为0.
故求f2011(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2011(x)＝f(3＋4×502)(x)＝－cosx＋ex.
