(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．
(1)求a；
(2)设函数g(x)＝，证明：g(x)<1．
[规范解答]
(1)由f(x)＝ln(a－x)⇒f′(x)＝，x∈(－∞，a)， 1分
y＝xf(x)⇒y′＝ln(a－x)＋． 2分
又x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，所以y′(0)＝ln a＝0，解得a＝1. 3分
(2)由(1)得f(x)＝ln(1－x)，g(x)＝＝，x<1且x≠0. 4分
当x∈(0,1)时，因为x>0，ln(1－x)<0, 所以xln(1－x)<0，所以要证g(x)＝<1，
即证x＋ln(1－x)>xln(1－x)，化简得x＋(1－x)ln(1－x)>0； 5分
同理，当x∈(－∞，0)时，因为x<0，ln(1－x)>0，所以xln(1－x)<0，所以要证g(x)＝<1， 6分
即证x＋ln(1－x)>xln(1－x)，化简得x＋(1－x)ln(1－x)>0. 7分
