[典例1] 从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P(87.8<Z<112.2)；
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 5.
[解] (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，
所以随机变量ξ的分布列为
所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.
(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
①因为Z～N(100,150)，
从而P(87.8<Z<112.2)＝P(100－12.2<Z<100＋12.2)＝0.682 7.
②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.6827，依题意知X～B(500，0.682 7)，所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35.
点评：本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键．
