一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件. ( )
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线. ( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的. ( )
(4)方程y=与x=y2表示同一曲线. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1.到点F(0,4)的距离比到直线y=-5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )
A.y=16x2 B.y=-16x2
C.x2=16y D.x2=-16y
C [由题意可知,动点M到点F(0,4)的距离等于到直线y=-4的距离,故点M的轨迹为以点F(0,4)为焦点,以y=-4为准线的抛物线,其轨迹方程为x2=16y.]
2.P是椭圆+=1上的动点,过P作椭圆长轴的垂线,垂足为M,则PM中点的轨迹方程为( )
A.x2+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
B [设中点坐标为(x,y),则点P的坐标为(x,2y),
代入椭圆方程得+y2=1.故选B.]
3.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴,y轴交于A,B两点,则AB中点M的轨迹方程为 .
x+y-1=0 [设M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM.∵l1⊥l2,
∴|PM|=|OM|,
而|PM|=,
|OM|=.
∴=,
化简,得x+y-1=0,
即为所求的轨迹方程.]
4.已知线段AB的长为6,直线AM,BM相交于M,且它们的斜率之积是,则点M的轨迹方程是 .
-=1(x≠±3) [以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-3,0),B(3,0).设点M的坐标为(x,y),则直线AM的斜率kAM=(x≠-3),直线BM的斜率kBM=(x≠3).由已知有·=(x≠±3),化简整理得点M的轨迹方程为-=1(x≠±3).]