1.定积分的有关概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式,当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=.
在f(x)dx中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
(2)定积分的几何意义
图形
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阴影部分面积
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S=f(x)dx
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S=-f(x)dx
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S=f(x)dx-f(x)dx
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S=f(x)dx-g(x)dx=[f(x)-g(x)]dx
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2.定积分的性质
(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数);
(2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx;
(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).
提醒:求分段函数的定积分,可以先确定不同区间上的函数解析式,然后根据定积分的性质(3)进行计算.