考点一 函数的奇偶性与单调性
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．
[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
(2)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
(1)C (2)D [(1)∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴f＝f(－log34)＝f(log34)．
又∵log34＞log33＝1，且1＞2＞2＞0，
∴log34＞2＞2＞0.
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)＞f(2)＞f(log34)＝f.故选C．
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D．]
点评：解答此类题目时，奇偶性的作用是把不在同一单调区间的自变量转化到同一单调区间上．
