1.已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x．证明：
(1)g(x)≥1；
(2)(x－ln x)f(x)>1－.
证明：(1)由题意，得g′(x)＝(x>0)，当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)≥g(1)＝1，得证．
(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，
所以当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，
即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
所以f(x)≥f(2)＝1－(当且仅当x＝2时取等号)． ①
又由(1)知，x－ln x≥1(当且仅当x＝1时取等号)， ②
且①②等号不同时取得，
所以(x－ln x)f(x)>1－.
