1．(2020·蚌埠市模拟)已知函数f(x)＝x2－ln x的图像在点处的切线斜率为0.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若g(x)＝f(x)＋mx在区间(1，＋∞)上没有零点，求实数m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－.因为f′＝1－a＝0，所以a＝1，f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－＝.
令f′(x)＞0，得x>；令f′(x)＜0，得0<x<，
故函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.
(2)g(x)＝x2－ln x＋mx，由g′(x)＝2x－＋＝＝0，得x＝.
设x0＝，所以g(x)在(0，x0]上是减函数，在[x0，＋∞)上为增函数．
因为g(x)在区间(1，＋∞)上没有零点，所以g(x)＞0在(1，＋∞)上恒成立．
由g(x)＞0，得m>－x，令y＝－x，则y′＝－1＝.
当x＞1时，y′＜0，所以y＝－x在(1，＋∞)上单调递减，
所以当x＝1时，ymax＝－1，故m≥－1，
即m∈[－2，＋∞)．
