专题强化练(五)
1．(2020·吉林省实验中学第一次检测)在公差为2的等差数列{an}中，a1＋1，a2＋2，a3＋4成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an－2n}的前n项和Sn.
解：(1)因为{an}的公差为d＝2，所以a2＝a1＋2，a3＝a1＋4.
因为a1＋1，a2＋2，a3＋4成等比数列，所以(a1＋1)(a1＋8)＝(a1＋4)2，解得a1＝8，
从而an＝8＋2(n－1)＝2n＋6.
(2)由(1)得an＝2n＋6，所以an－2n＝(2n＋6)－2n
所以Sn＝(8＋10＋…＋2n＋6)－(2＋22＋…＋2n)＝－＝n(n＋7)－(2n＋1－2)＝n2＋7n－2n＋1＋2.
2．(2020·江西省名校第二次联考)已知首项为4的数列{an}满足an＋1＝.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)证明：因为an＋1＝，所以(n＋1)an＋1＝2nan＋2n＋1，
所以＝＋1.所以－＝1.
因为a1＝4，所以＝2.
故数列是首项为2，公差为1的等差数列．
(2)解：由(1)可知＝n＋1，则an＝·2n.因为bn＝log2an，
所以bn＝log2＝log2＋log22n＝log2＋n，
则Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(log22＋1)＋＋＋…＋
＝＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝log2(n＋1)＋.
3．(2020·湖南八校第二次联考)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝log2(Sn＋1)，求数列的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，所以有a1＋a4＝a1(1＋q3)＝9，
a2a3＝aq3＝8，联立两式可得或者
又因为数列{an}为递增数列，所以q>1，所以
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)根据等比数列的求和公式，有
Sn＝＝2n－1，bn＝log2(2n－1＋1)＝n，
＝＝2，
所以Tn＝2＝2(1－)＝.
4．(2020·德州模拟)给出以下三个条件：
①数列{an}是首项为 2，满足Sn＋1＝4Sn＋2的数列；
②数列{an}是首项为2，满足3Sn＝22n＋1＋λ(λ∈R)的数列；
③数列{an}是首项为2，满足3Sn＝an＋1－2的数列．
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设数列{an}的前n项和为Sn，an与Sn满足________，记数列bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn；
