专题强化练(十四)
1．(2020·东北三省四市教研联合体模拟)点P(1，t)(t>0)是抛物线C：y2＝4x上一点，F为C的焦点．
(1)若直线OP与抛物线的准线l交于点Q，求△QFP的面积；
(2)过点P作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，证明：直线MN的斜率是定值．
(1)解：将P(1，t)代入y2＝4x得t＝2，则lOP：y＝2x，准线l：x＝－1，所以Q(－1，－2)
所以S△QFP＝|OF||yP－yQ|＝2.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题可知，
kMP＋kNP＝0，
所以＋＝0，所以＋＝0，所以＋＝0，
所以y1＋y2＝－4，所以kMN＝＝＝－1为定值．
2．(2020·太原模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个顶点为M(0，1)，直线l交椭圆于A，B两点，且MA⊥MB.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线l过定点．
(1)解：由题意得解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：依题意，直线l斜率存在，设方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，得x1＋x2＝，
x1x2＝，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m，y1y2＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2，
因为MA⊥MB，所以·＝0，即x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，
代入整理得＋－＋1＝0，
即5m2－2m－3＝0，解得m＝－，m＝1(舍)，所以直线l过定点.
3．(2020·宝鸡模拟)已知定点S(－2，0)，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP，TP的斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在斜率为的直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且Q(，0)恰是△BMN的重心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设P(x，y)，由已知有·＝－，
整理得动点P的轨迹E的方程为＋＝1(x≠±2)．
(2)由(1)知，E的方程为＋＝1(x≠±2)，
所以B(0，)，
设存在直线l符合题意，并设l的方程为y＝x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得13x2＋8mx＋12(m2－3)＝0，
由Δ＝(8m)2－4×13×12(m2－3)>0，得－<m<，x1＋x2＝－.
因为点Q为△BMN的重心，所以x1＋x2＋xB＝3xQ，－＋0＝3，解得m＝－.
当m＝－时，不满足－<m<，所以不存在直线l，使得Q是△BMN的重心．
