专题强化练(十三)
1．设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为16.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N.证明：O，M，N三点共线．
(1)解：由题意知，4a＝16，a＝4.又因为e＝，
所以c＝2，b＝＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，
中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；
当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，
且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．
则＋＝1，＋＝1，相减得＝－，
所以·＝－，即·＝－，即k·kOM＝－，
所以kOM＝－.同理可得kON＝－，所以kOM＝kON，所以O，M，N三点共线．
2．(2020·哈尔滨三中月考)已知过圆C1：x2＋y2＝1上一点E的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的上顶点和右顶点．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q(－1，0)，求证：PM⊥PN.
(1)解：直线lOE的方程为y＝x，则直线lAB的斜率kAB＝－.
所以lAB：y＝－x＋，即A，B(2，0)，椭圆方程为：＋＝1.
(2)证明：①当kMN不存在时，M(－1，1)，N(－1，－1)，
因为·＝(1，1)·(1，－1)＝0，所以⊥.
②当kMN存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝k(x＋1)，
联立得：(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－4＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，又已知左顶点P为(－2，0)，
·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2，
又y1y2＝k(x1＋1)k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝，
所以·＝－＋4＋＝＝0，
所以⊥.综上PM⊥PN得证．
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
(1)若e＝，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A、B两点，M、N分别为线段AF2、BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且<e≤，求k的取值范围．
解：(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝2.
又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.
因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
