专题强化练(十八)
1．(2020·承德第一次模拟)已知函数f(x)＝x3ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)≥mx2对x∈R恒成立，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2ex＋x3ex＝x2ex(x＋3)，令f′(x)≥0，得x≥－3，
则f(x)的单调递增区间为[－3，＋∞)；令f′(x)<0，得x<－3，
则f(x)的单调递减区间为(－∞，－3)．
综上所述：f(x)的单调递增区间为[－3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－3)．
(2)当x＝0时，不等式f(x)≥mx2即0≥0，显然成立．
当x≠0时，不等式f(x)≥mx2对x∈R恒成立，等价于m≤xex对x∈R恒成立．
设g(x)＝xex(x≠0)，g′(x)＝(x＋1)ex，令g′(x)<0，得x<－1；令g′(x)>0，得x>－1且x≠0.所以g(x)min＝g(－1)＝－.所以m≤－，即m的取值范围为.
2．已知f(x)＝ln x＋.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对任意x>0，均有x(2ln a－ln x)≤a恒成立，求正数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－＝，x∈(0，＋∞)．
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值．
②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)为减函数；
x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)为增函数，
所以f(x)在(0，＋∞)有极小值，无极大值，
f(x)的极小值为f(a)＝ln a＋1.
(2)若对任意x>0，均有x(2ln a－ln x)≤a恒成立，即对任意x>0，均有2ln a≤＋ln x恒成立，
由(1)可知f(x)的最小值为ln a＋1，问题转化为2ln a≤ln a＋1，即ln a≤1，故0<a≤e，
故正数a的取值范围是(0，e]．
3．(2020·河南省月考)已知函数f(x)＝－ax＋b在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e.
(1)求实数b的值；
(2)若存在x0∈[e，e2]，满足f(x0)≤＋e，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，因为f(x)＝－ax＋b，
所以f′(x)＝－a.所以f′(e)＝－a，又f(e)＝e－ae＋b，
所以所求切线方程为y－(e－ae＋b)＝－a(x－e)，即y＝－ax＋e＋b.
又函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e，所以b＝e.
(2)由题意得f(x0)＝－ax0＋e≤＋e，所以问题转化为a≥－在[e，e2]上有解．令h(x)＝－，x∈[e，e2]，
则h′(x)＝－＝＝
.
令p(x)＝ln x－2，则当x∈[e，e2]时，有p′(x)＝－＝<0.
所以函数p(x)在区间[e，e2]上单调递减，所以p(x)<p(e)＝ln e－2<0.
所以h′(x)<0，所以h(x)在区间[e，e2]上单调递减．
所以h(x)≥h(e2)＝－＝－.
所以实数a的取值范围为.
4．(2020·长治模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x1<x2<x3)是曲线y＝f(x)上任意三点，求证：<.
(1)解：函数f(x)的导函数为f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增；当a>0时，由f′(x)≥0知x≥ln a，由f′(x)<0知，xa，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在[ln a，＋∞)上单调递增．
