专题强化练(七)
1.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
解：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)．
(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而＝，＝(0，2，2)，故|cos〈，〉|＝＝＝.
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此＝，＝(0，2，2)，＝(0，0，2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，
则即不妨取n＝(，－1，1)．
设直线CC1与平面AQC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.
2.如图，直角三角形ABD所在的平面与半圆弧所在平面相交于BD，AB＝BD＝2，E，F分别为AD，BD的中点，C是上异于B，D的点，EC＝ .
(1)证明：平面CEF⊥平面BCD；
(2)若点C为半圆弧上的一个三等分点(靠近点D)求二面角ACEB的余弦值．
(1)证明：因为C为半圆弧上的一点，所以BC⊥CD.
在△ABD中，E，F分别为AD，BD的中点，所以EF＝AB＝1，且EF∥AB.
于是在△EFC中，EF2＋FC2＝1＋1＝2＝EC2，
所以△EFC为直角三角形，且EF⊥FC.
因为AB⊥BD，EF∥AB，所以EF⊥BD.
因为EF⊥FC，EF⊥BD，BD∩FC＝F,
所以EF⊥平面BCD.
又EF⊂平面CEF，所以平面CEF⊥平面BCD.
(2)解：由已知∠BFC＝120°，以F为坐标原点，分别以垂直于BD、向量，所在方向作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz，
则C，E(0，0，1)，B(0，－1，0)，A(0，－1，2),
＝，＝(0，1，1)，＝(0，1，－1).
设平面ACE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
