大题基础练(一) 三角函数与解三角形
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2C＝－.
(1)求sin C；
(2)当c＝2a，且b＝3时，求a.
解：(1)由已知可得1－2sin2 C＝－.所以sin2 C＝.
因为在△ABC中，sin C>0，所以sin C＝.
(2)因为c＝2a，所以sin A＝sin C＝.
因为△ABC是锐角三角形，所以cos C＝，cos A＝.
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理可得：＝，所以a＝.
2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(acos C＋ccos A)tan A＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，求bc的最大值．
解：(1)因为(acos C＋ccos A)tan A＝b，
利用正弦定理可得，(sin Acos C＋sin Ccos A)tan A＝sin B，
即sin(A＋C)tan A＝sin B，因为A＋C＝π－B，
所以sin(π－B)tan A＝sin B，即sin Btan A＝sin B，
因为0<B<π，所以sin B≠0，tan A＝，
因为0<A<π，所以A＝.
(2)由(1)及余弦定理可得，
a2＝b2＋c2－2bccos A，即3＝b2＋c2－2bccos ，
所以3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，
所以bc的最大值为3.
3.如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asin A＋(c－a)sin C＝bsin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝.
(1)求B；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)因为asin A＋(c－a)sin C＝bsin B，由＝＝得a2＋c2－ac＝b2，
由余弦定理得cos B＝＝，因为0<B<π，所以B＝60°.
(2)连接CE，如图：D是AC的中点，DE⊥AC，所以AE＝CE，
所以CE＝AE＝＝，
在△BCE中，由正弦定理得＝＝，
所以＝，所以cos A＝，
因为0<A<π，所以A＝45°，
所以∠ACB＝75°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝30°，∠BEC＝90°，
所以CE＝AE＝，AB＝AE＋BE＝＋1，
所以S△ABC＝AB·CE＝.
