大题基础练(四) 概率统计
1．随着智能手机的普及，使用手机上网成为人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x：(单位：元/月)和购买人数y(单位：万人)的关系如表：
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流量包的定价/(元/月)
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30
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35
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40
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45
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50
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购买人数/万人
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18
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14
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10
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8
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5
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(1)根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关；
(2)①求出y关于x的回归方程；
②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人．
参考数据：≈158，≈161，≈164.
参考公式：相关系数r＝，回归直线方程＝x＋，其中＝，＝y－ x.
解：(1)根据题意，得x＝(30＋35＋40＋45＋50)＝40，y＝(18＋14＋10＋8＋5)＝11.
可列表如下
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i
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1
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2
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3
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4
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5
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xi－x
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－10
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－5
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0
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5
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10
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yi－y
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7
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3
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－1
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－3
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－6
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(xi－x)(yi－y)
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－70
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－15
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0
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－15
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－60
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根据表格和参考数据，得 (xi－x)(yi－y)＝－160，
＝＝≈161.
因而相关系数r＝＝≈－0.99.
由于|r|≈0.99很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.
由于r<0，故其关系为负相关．
(2)①＝＝＝－0.64，＝11＋0.64×40＝36.6，
因而y关于x的回归方程为＝－0.64x＋36.6.
②由①知，若x＝25，则＝－0.64×25＋36.6＝20.6，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人．
2．2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．
(1)完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
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项目
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满意
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不满意
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总计
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男生
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30
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女生
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15
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总计
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120
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(2)从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为ζ，求出ζ的分布列及期望值．
