大题基础练(三) 立体几何
1.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，点E是棱C1C的中点，已知A1B1＝B1C1＝C1C＝2，B1E＝.
(1)求证：B1B⊥平面ABC；
(2)求二面角A-EB1-A1的余弦值．
(1)证明：依题意，在△B1C1E中，B1C1＝2，B1E＝，C1E＝C1C＝1，
所以B1C＋C1E2＝B1E2，所以∠B1C1E＝90°.
又因为三棱锥ABC-A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，
所以四边形BB1C1C为矩形，所以B1B⊥BC.
因为AB⊥平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，
所以B1B⊥AB.
又因为AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，
所以B1B⊥平面ABC.
(2)解：因为AB⊥平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BC.
如图建立空间直角坐标系B-xyz，
则A(0，0，2)，E(2，1，0)，B1(0，2，0)，A1(0，2，2)，＝(2，－1，0)，
＝(0，－2，2)，B1A1＝(0，0，2)设平面AEB1的法向量为n＝(x，y，z)，则
即令x＝1，则y＝2，z＝2，
于是n＝(1，2，2)，设平面A1EB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则
即
令x＝1，则y＝2，z＝0.于是m＝(1，2，0)，
所以cos〈n，m〉＝＝＝.
由题知二面角A-EB1-A1为锐角，所以其余弦值为.
2.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF.
(1)求证：AB⊥CG；
(2)若BC＝CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值．
(1)证明：取BC的中点为D，连接DF.
由ABCEFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC∥FG.
因为CB＝2GF，所以CD GF，所以四边形CDFG为平行四边形，所以CG∥DF.
因为BF＝CF，D为BC的中点，所以DF⊥BC，所以CG⊥BC.
因为平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，
所以CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，所以CG⊥AB.
(2)解：连接AD.由△ABC是正三角形，且D为中点，则AD⊥BC.
由(1)知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，所以DF⊥AD，DF⊥BC，
所以DB，DF，DA两两垂直．
以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
