大题基础练(二) 数列
1．设等差数列{an－bn}的公差为2，等比数列{an ＋bn}的公比为2，且a1＝2，b1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an＋2n}的前n项和Sn.
解：(1)因为a1＝2，b1＝1，所以a1－b1＝1，a1＋b1＝3,
依题意可得，an－bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，an＋bn＝3×2n－1 ,
故an＝.
(2)由(1)可知，2an＋2n＝2n－1＋5×2n－1，
故Sn＝(1＋3＋…＋2n－1)＋5×(1＋2＋…＋2n－1) ＝＋5×(2n－1)＝5×2n＋n2－5.
2．已知{an}是公差不为零的等差数列， a＝7，且a2，a4，a9成等比数列．3
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设{an}的公差为d，因为a2，a4，a9成等比数列，
所以a＝a2a9，可得(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，
所以d2＝3a1d，因为d≠0，所以d＝3a1，又因为a3＝a1＋2d＝7,
解得a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2.
(2)bn＝＝＝，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋(－)＋…＋，
所以Sn＝＝.
3．已知等差数列{an}中a1＝－12，a3＝－8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)当n取何值时，数列{an}的前n项和Sn取得最值 ，并求出最值．
解：(1)因为a1＝－12，a3＝－8，所以d＝＝2，
所以an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14.
(2)Sn＝n×(－12)＋×2＝n2－13n＝－.
所以当n＝6或n＝7时，Sn取最小值，最小值为－42.
4．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且对任意的n∈N*，都有an＋2＝3an＋1－2an.
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*都有Sn≥＋m，求实数m的取值范围．
(1)证明：由an＋2＝3an＋1－2an可得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an).
又a1＝1，a2＝3，所以a2－a1＝2≠0，故＝2.
所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以an＋1－an＝2n.
所以an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋22＋…＋2n＝2n－1.
(2)解：因为bn＝＝＝－.
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－.
又因为对任意的n∈N*都有Sn≥＋m，所以m≤1－－恒成立，
即m≤，即当n＝1时，m≤－.
5．在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36 .
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn.
在①bn＝，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)由题意，解得d＝2，a1＝2.
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
