大题规范练(一)
1．(2020·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解：(1)因为cos B＝>0，且0<B<π，所以sin B＝＝.
由正弦定理得＝，所以sin A＝＝×＝.
(2)因为S△ABC＝acsin B＝×2c×＝4，
所以c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，
所以b＝.
2．在①a3＋a5＝5，S4＝7；②4Sn＝n2＋3n；③5S4＝14S2，a5是a3与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若________．
(1)求an；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)选择条件①：设等差数列{an}的公差为d，
则解得故an＝；
选择条件②：4Sn＝n2＋3n，
当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝n2＋3n－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，
即an＝(n≥2)，
当n＝1时，a1＝S1＝＝1，也适合上式，故an＝；
选择条件③：设等差数列{an}的公差为d，则
解得a1＝1，d＝或a1＝0，d＝0(不合题意)，故an＝.
(2)因为an＝，
所以bn＝＝＝2(－)，
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(－＋－＋…＋－)＝2＝.
3.(2020·深圳模拟)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，侧面ACC1A1⊥底面ABC，A1B＝，D为AC的中点．
(1)证明：A1D⊥平面ABC；
(2)求二面角B1-A1B-C1的余弦值．
(1)证明：连接BD，易知△ABC是等边三角形，且D为AC的中点，则BD⊥AC，
因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC＝AC，BD⊂底面ABC，
所以BD⊥侧面ACC1A1，因为A1D⊂侧面ACC1A1，所以BD⊥A1D，
因为A1B＝，BD＝，所以A1D＝＝，
因为AD＝1，AA1＝2，所以A1D2＋AD2＝AA，所以A1D⊥AC，
因为AC∩BD＝D，所以A1D⊥底面ABC.
(2)解：由(1)可知，A1D，AD，BD两两垂直，所以以D为原点，以BD，AD，A1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
