大题规范练(五)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－bcos C)＝csin B.
(1)求角B；
(2)若b＝，sin A＝3sin C，求BC边上的高．
解：(1)由(a－bcos C)＝csinB及正弦定理可得
sin A－sin Bcos C＝sin Bsin C，
将sin A＝sin(B＋C)代入上式，整理得cos Bsin C－sin Bsin C＝0，
解得tan B＝，所以B＝.
(2)由sin A＝3sin C，得a＝3c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.所以BC边上的高为csin B＝.
2．从条件①2Sn＝(n＋1)an；②＋＝an(n≥2)；③an>0，a＋an＝2Sn中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________．若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求k的值．
解：若选择①，
因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N*，所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N*，
两式相减得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，整理得nan＋1＝(n＋1)an.
即＝，n∈N*.
所以为常数列.＝＝1，所以an＝n.
所以ak＝k，Sk＋2＝＝，
又a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以(k＋2)(k＋3)＝2k2，
所以k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍)，所以k＝6.
若选择②，
由＋＝an(n≥2)变形得，＋＝Sn－Sn－1，
所以＋＝(＋)(－)，
易知Sn>0，所以－＝1，
所以{}为等差数列，又＝a1＝1，所以＝n，Sn＝n2，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，
又n＝1时，a1＝1也满足上式，
所以an＝2n－1.
因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以(k＋2)2＝(2k－1)2，
所以k＝3或k＝－，又k∈N*，所以k＝3.
若选择③，
因为a＋an＝2Sn(n∈N*)，所以a＋an－1＝2Sn－1(n≥2)，
两式相减得a－a＋an－an－1＝2Sn－2Sn－1＝2an(n≥2)，
整理得(an－an－1)(an＋an－1)＝an＋an－1(n≥2)，
因为an>0，所以an－an－1＝1(n≥2)，所以{an}是等差数列，
所以an＝1＋(n－1)×1＝n，
Sk＋2＝＝，
又a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以(k＋2)(k＋3)＝2k2，
所以k＝6或k＝－1，又k∈N*，所以k＝6.
3．(2020·中山模拟)携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无须改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．
