大题规范练(四)
1．(2020·揭阳模拟)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①2＋·＝－6；②b2＋c2＝52；③△ABC的面积为3，
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c＝2，cos A＝－，________．
(1)求a；
(2)求cos的值．
解：法一 选择条件①：
(1)2＋·＝·(＋)＝·＝bc cos A＝－6，
因为cos A＝－，所以bc＝24 ，由
解得或(舍去)，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，所以a＝8.
(2)cos C＝＝＝，所以sin C＝＝，
所以cos 2C＝2cos2 C－1＝，sin 2C＝2sin Ccos C＝ ，
所以cos＝cos 2Ccos －sin 2Csin ＝.
法二 选择条件②：
(1)由解得或(舍去)，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，所以a＝8 .
(2)同法一
法三 选择条件③：
(1)因为cos A＝－，所以sin A＝，S△ABC＝bcsin A＝bc＝3，
所以bc＝24，由解得或(舍去)，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，所以a＝8 .
(2)同法一．
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)求证：AE⊥平面PBC；
(2)试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.
因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC，
又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.
因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，
又 PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.
(2)解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设正方形ABCD的边长为2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，0，1)，
