大题规范练(三)
1．(2020·天津模拟)△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设b＋bcos A＝asin B.
(1)求A；
(2)若b＋c＝a，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC的面积．
解：(1)因为b＋bcos A＝asin B，
所以由正弦定理可得sin B＋sin Bcos A＝sin Asin B，
因为0<B<π，所以sin B≠0，所以sin A－cos A＝1，所以2sin＝1，
因为0<A<π，所以A－∈，所以A－＝，所以A＝.
(2)设△ABC的外接圆半径为R，则R＝2，
所以由正弦定理得a＝2Rsin A＝2，所以b＋c＝2，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos ＝(b＋c)2－3bc，
所以12＝24－3bc，得bc＝4.
所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝×4×＝.
2．(2020·惠州模拟)在①3Sn＋1＝Sn＋1；②a2＝；③2Sn＝1－3an＋1这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________；又知正项等差数{bn}列满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)证明：ab1＋ab2＋…＋abn<.
(1)解：法一 选择①②
当n≥2时，由3Sn＋1＝Sn＋1得3Sn＝Sn－1＋1，
两式相减，得3an＋1＝an，即＝(n≥2)，
由①得3S2＝S1＋1，即3(a1＋a2)＝a1＋1，
所以2a1＝1－3a2＝1－＝，得a1＝，
所以＝，所以{an}为a1＝，公比为的等比数列，
所以an＝×＝.
设等差数列{bn}的公差为d，d≥0，且b1，b2－1，b3成等比数列．
b1b3＝(b2－1)2，即2(2＋2d)＝(1＋d)2，
解得d＝3，d＝－1(舍去)，所以bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1
法二 选择②③
当n≥2时，由③2Sn＝1－3an＋1，得2Sn－1＝1－3an，
两式相减，得2an＝3an－3an＋1，所以＝(n≥2)，
又2S1＝1－3a2，得a1＝，所以＝，所以{an}为a1＝，公比为的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝×＝.
(以下同法一)
(2)证明：由(1)得abn＝a3n－1＝.
则ab1＋ab2＋…＋abn＝＋＋…＋＝＝<.
3.(2020·杭州模拟)如图，在四棱锥-PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值．
(1)证明：因为∠BAP＝∠CDP＝90°，
所以PA⊥AB，PD⊥CD，又因为AB∥CD，所以PD⊥AB，
又因为PD∩PA＝P，PD，PA⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
