大题规范练(六)
1．(2020·珠海模拟)在①asin C－ccos Bcos C＝bcos2 C；②5ccos B＋4b＝5a；③(2b－a)cos C＝ccos A，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足__________．
(1)求sin C；
(2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h.
解：选择条件①：
(1)因为asin C－ccos Bcos C＝bcos2 C，
所以由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos Bcos C＋sin Bcos2 C，
即sin Asin C＝cos C(sin Ccos B＋sin Bcos C)，
故sin Asin C＝cos Csin A.
又A∈(0，π)⇒sin A≠0，
所以sin C＝cos C，⇒tan C＝.
由C∈(0，π)⇒C＝
所以sin C＝sin ＝.
(2)由正弦定理得c＝2×sin ＝4，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝(a＋b)2－3ab＝16，
所以ab＝⇒ab＝3.
于是得△ABC的面积S＝absin C＝ch，
所以h＝＝＝.
选择条件②：
(1)因为5ccos B＋4b＝5a，
由正弦定理得5sin Ccos B＋4sin B＝5sin A，
即5sin Ccos B＋4sin B＝5sin(B＋C)＝5sin Bcos C＋5cos Bsin C，
于是sin B(4－5cos C)＝0.
在△ABC中，sin B≠0，
所以cos C＝，
sin C＝＝.
(2)由正弦定理得c＝2××＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－ab＝，
所以ab＝×＝，
于是得△ABC的面积S＝absin C＝ch，
所以h＝＝××＝.
选择条件③：
(1)因为(2b－a)cos C＝ccos A，
所以由正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A，
所以2sin Bcos C＝sin(A＋C)＝sin B，
因为B∈(0，π)，
所以sin B≠0⇒cos C＝，
又A∈(0，π)，
所以C＝，所以sin C＝.
(2)由正弦定理得c＝2×sin ＝4，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝(a＋b)2－3ab＝16，
所以ab＝⇒ab＝3.
于是得△ABC的面积S＝absin C＝ch，
所以h＝＝＝.
