大题规范练(二)
1.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，________，DC＝2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)①3AB＝4BC；sin ∠ACB＝；②tan ＝；③2BCcos ∠ACB＝2AC－AB.
(1)求∠DAC的大小；
(2)求△ADC面积的最大值．
解：(1)若选①，在△ABC，由正弦定理可得：
＝，
又3AB＝4BC，sin ∠ACB＝，可得：sin ∠BAC＝，所以∠BAC＝.
又AB⊥AD，所以∠BAD＝，∠DAC＝.
(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：
DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，
即AC·AD≤4，
所以S△ADC＝AC·ADsin ∠DAC≤×4×＝，
当且仅当AC＝AD时取“＝”．
若选②，
(1)由tan＝可得：
∠BAC＝，
又AB⊥AD，所以∠BAD＝，所以∠DAC＝.
(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：
DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，
即AC·AD≤4 ，所以S△ADC＝AC·ADsin ∠DAC≤×4×＝，当且仅当AC＝AD时取“＝”．
若选③，(1)2BCcos ∠ACB＝2AC－AB，由正弦定理得：
2sin ∠BACcos ∠ACB＝2sin ∠ABC－sin ∠ACB，
所以2sin ∠BACcos ∠ACB＝2sin(∠ACB＋∠BAC)－sin ∠ACB，
所以2sin ∠BACcos ∠ACB＝2sin ∠ACBcos ∠BAC＋2cos ∠ACBsin ∠BAC－sin ∠ACB，
即2sin ∠ACBcos ∠BAC＝sin ∠ACB，因为sin ∠ACB>0，
所以cos ∠BAC＝，因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝，
又AB⊥AD，所以∠BAD＝，所以∠DAC＝.
(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：
DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，
即AC·AD≤4，
所以S△ADC＝AC·ADsin ∠DAC≤×4×＝，
当且仅当AC＝AD时取“＝”．
2.(2020·江门模拟)如图，在梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDFE⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD.
(1)求证：平面AFC⊥平面BDFE；
(2)若AB＝2CD＝2，BE＝EF＝2，求BF与平面DFC所成角的正弦值．
(1)证明：因为平面BDFE⊥平面ABCD，平面BDFE∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD，AC⊥BD，
所以AC⊥平面BDFE.又AC⊂平面AFC，
所以平面AFC⊥平面BDFE.
(2)解：设AC∩BD＝O，因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，AB＝2CD＝2，
所以OD＝OC＝1，OB＝OA＝2，
因为FE∥OB且FE＝OB，所以四边形FEBO为平行四边形，
所以OF∥BE，且OF＝BE＝2，
又因为BE⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD.
