第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
素养目标·定方向
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素养目标
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学法指导
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1．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度等有关的实际应用问题.(数学运算)
2．能根据题意画出几何图形.(直观想象)
3．掌握运用正、余弦定理解决实际问题的方法.(数学建模)
4．能将实际问题转化为解三角形问题.(数学抽象)
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通过正、余弦定理在实际中的应用感受正、余弦定理在解决三角形边角关系(长度与角度)中的工具性作用.
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必备知识·探新知
知识点1 基线的概念与选择原则
(1)基线的定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.
(2)选择基线的原则
在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线__越长__，测量的精确度越高.
知识点2 相关术语
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__时叫仰角，目标视线在水平视线__下方__时叫俯角，如图所示.
(2)方位角
指从__正北方向__顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 测量距离问题
典例1 (1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__60__m.
(2)为测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B之间的距离为__ km__.
[解析] (1)tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，故CD＝60．
(2)在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝ km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋()2－2、、cos75°＝5．∴AB＝(km).
故A、B之间的距离为 km.
