6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
素养目标·定方向
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素养目标
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学法指导
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1．理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论.(逻辑推理)
2．能用余弦定理解三角形.(数学运算)
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1．进一步感受向量三角形法则与数量积运算的价值，体会向量数量积运算在解决长度问题中的特点.
2．通过特殊化与一般化感受勾股定理与余弦定理的关系，并加深对勾股定理的理解.
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必备知识·探新知
知识点1 余弦定理
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文字语言
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三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和__减去__这两边与它们的夹角的余弦的积的 __两__倍
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符号语言
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在△ABC中，a2＝__b2＋c2－2bccos A__，
b2＝__c2＋a2－2cacos B__，
c2＝__a2＋b2－2abcos C__
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推论
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在△ABC中，
cos A＝____，
cos B＝____
cos C＝____
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知识点2 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的__元素__.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__解三角形__.
[微提醒] (1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题
①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形.
(2)余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 已知两边及一角解三角形
典例1 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝__60__cm；
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝__4或5__.
[分析] (1)由余弦定理可直接求第三边；
(2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长.
[解析] (1)由余弦定理得：
a＝
＝＝60(cm).
(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．
[归纳提升] 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角.
