8．3 简单几何体的表面积与体积
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[目标] 1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积．
[重点] 求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积．
[难点] 棱台的体积．
要点整合夯基础
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
[填一填]
1．棱柱的表面积
棱柱的表面积：S表＝S侧＋2S底．
①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝Ch；
②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝2(ab＋ac＋bc)；
③棱长为a的正方体的表面积：S表＝6a2.
2．棱锥的表面积
棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝Ch′.
3．棱台的表面积
棱台的表面积：S表＝S侧＋S上底＋S下底．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
[答一答]
1．几何体的侧面积与表面积有何区别？
提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．表面积等于侧面积与底面积之和，因此，侧面积仅是几何体表面积的一部分．
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
[填一填]
1．棱柱的体积
(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝Sh.
2．棱锥的体积
(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh.
3．棱台的体积
(1)棱台的高是指两个底面之间的距离．
(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝h(S′＋＋S)．
[答一答]
2．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？
提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面.
典例讲练破题型
类型一 多面体的表面积
[例1] 已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为________．
[分析] 利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积．
[解析] 正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 cm，故三棱台的表面积为3××(2＋4)×＋×2＋＋×4×2＝5＋9.
[答案] (5＋9) cm2
