第八章 习题课
1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥平面PCD.
题图 答图
[解析] (1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.
∵E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，
∴NE∥PD，EM∥DA，
∴平面NEM∥平面PDA，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.
∵底面ABCD是矩形，CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
∵EN∥PD，∴EN⊥CD，
又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，
∴CD⊥平面ENM，∴MN⊥CD.
∵PM＝＝ ＝＝MC，N是PC的中点，
∴MN⊥PC.又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD.
2．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°.
(1)求证：BC ⊥AB1；
(2)若AB＝a，AB1＝a，求三棱锥CABB1的体积.
题图 答图
[解析] (1)证明：取BC的中点O，连接AO，B1O，如图.
∵侧面BB1C1C是菱形，且∠B1BC＝60°，
∴△B1BC为等边三角形，∴B1O⊥BC.
又△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，
又B1O∩AO＝O，B1O，AO⊂平面AOB1，∴BC⊥平面AOB1，
而AB1⊂平面AOB1，∴BC⊥AB1．
(2)由(1)知OA⊥BC，OB1⊥BC，△ABC和△BB1C是全等的等边三角形，∴OA＝OB1，
∵AB＝a，∴OA＝OB1＝a，
∵AB1＝a，∴AB＝OA2＋OB，∴OB1⊥OA，
∵OB1⊥BC，又OA∩BC＝O，OA，BC⊂平面ABC，
∴OB1⊥平面ABC，
∴VCABB1＝VB1ABC＝S△ABC·OB1
＝××a×a×a＝.
