第六章 6.4 6.4.3 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1．
2．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
cosA＝＝，故选D．
3．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( AB )
A．4 B．8
C．4或6 D．无解
[解析] 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8．
4．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为( B )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
[解析] ∵c2<a2＋b2，∴∠C为锐角.
∵a<b<c，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形.
5．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0<A<π，所以A＝.
二、填空题
6．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为__120°__.
[解析] 由c>a>b，知角C为最大角，则cosC＝＝－，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.
7．在△ABC中，B＝45°，AC＝，AB＝2，则BC＝__3__.
[解析] 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcosB，又因为B＝45°，AC＝，AB＝2，所以()2＝BC2＋22－2×BC×2×cos45°，
整理，得BC2－2BC－6＝0，
所以(BC－3)(BC＋)＝0，
解得BC＝3或BC＝－(舍去)，
所以BC边的长为3.
