第六章 6.2 6.2.4
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是( A )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．任意三角形
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角.
2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C )
A．2 B．4
C．6 D．12
[解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72．
∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72．
∴|a|2－2|a|－24＝0．又∵|a|≥0，∴|a|＝6．
4．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosa，b＝＝＝－，所以a，b＝，故选C．
5．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心.
二、填空题
6．已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为____.
[解析] 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.
7．(2020·全国Ⅰ卷理)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝____.
[解析] 因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，
所以|a＋b|＝＝＝＝1，解得2a·b＝－1，
所以|a－b|＝＝＝.
8．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|2a－b|＝__2__.
[解析] 设向量b和a的夹角是α，
因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，
所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b
＝2－2cos α＝0，所以cos α＝，
所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b
＝8＋4－4××2×＝4，故|2a－b|＝2．
