第六章 6.2 6.2.4
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝( C )
A．12 B．12
C．－12 D．－12
[解析] m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 135°＝－12.
2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于( B )
A．－2 B．2
C．－2 D．2
[解析] ·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2．
3．(2020·全国Ⅲ理)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( D )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，
∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19．
|a＋b|＝＝
＝＝7，
因此，cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D．
4．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( D )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
[解析] 解法1：由条件知∠ABC＝90°，
所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25．
解法2：原式＝·(＋)＝·＝－||2＝－25．故选D．
5．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
[解析] (1)|u|2＝|a＋tb|2＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|22＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小.
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
