第四章 圆与方程
章末知识方法专题小结
一、圆的方程问题
1．关于求圆的方程，可以用直接法，即由条件直接求圆心和半径，但基本方法是以待定系数法为主，在设方程时应根据条件选择使用标准方程还是一般方程，若题目给出圆心坐标等关系，则采用标准方程；若已知圆上多个点的坐标，则采用一般方程．
2．另外注意，用动点轨迹的方法求圆的方程时，除定义外还有其他等量关系，如动点到两定点连线互相垂直、动点到两定点的距离的比是常数等．
[例1] 有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
[解] 方法1：由题意可设所求圆的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
方法2：设圆的标准方程，寻找三个方程构成方程组求解．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得
解得
所以圆的方程为(x－5)2＋(y－)2＝.
方法3：设圆的一般方程求解．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得
解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
二、直线与圆的位置关系问题
讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用．如直线与圆相交求弦长时，利用公式()2＋d2＝r2(其中，弦长为l，弦心距为d，半径为r)比利用代数法求弦长要简单实用．
[例2] 直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A.|b|＝
B.－1<b≤1或b＝－
C.－1≤b≤1
D.非A，B，C的结论
