2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
知识点 判断直线与圆的位置关系
[填一填]
(1)几何法：
直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝.
d>r⇔直线l与圆M相离，如图①所示；
d＝r⇔直线l与圆M相切，如图②所示；
d<r⇔直线l与圆M相交，如图③所示．
(2)代数法：
直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l和圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk，
Δ>0⇔直线l与圆M相交；
Δ＝0⇔直线l与圆M相切；
Δ<0⇔直线l与圆M相离．
[答一答]
1．(1)“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，各有什么优势？
(2)如何选择判断直线与圆的位置关系的方法？
提示：(1)“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面，不同的思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，结合了图形的几何性质．
(2)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较为繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，成为判断直线与圆位置关系的常用方法．
2．如何求解圆的切线与弦长问题？
提示：(1)涉及到直线与圆相切，其解题思路是圆心到直线的距离等于半径，需注意考虑直线斜率不存在的特殊情形(一般用数形结合的思想求解或验证)．
(2)圆的弦长问题：对于该类问题的求解常常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解．
判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法.
类型一 直线与圆的位置关系
【例1】 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离．试分别求实数a的取值范围．
【思路探究】 思路一：直线和圆的方程联立得方程组，转化为讨论方程组的解的个数问题；思路二：利用圆心到直线的距离与半径相比较，转化为解不等式或方程问题．
【解】 解法一：(代数法)
由方程组
消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－50<a<50；
②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.
解法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝，
