§2 圆与圆的方程
2．1 圆的标准方程
知识点一 确定圆的条件
[填一填]
一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．
[答一答]
1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？
提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．
知识点二 圆的标准方程
[填一填]
(1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．
(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2.
[答一答]
2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？
提示：圆的半径不一定是a，当a>0时，半径是a；当a<0时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.
3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？
提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．
知识点三 点与圆的位置关系
[填一填]
设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.
[答一答]
4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？
提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．
1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．
2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．
3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.
类型一 根据方程确定圆心和半径
【例1】 分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．
(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；
(2)(x＋4)2＋y2＝4；
(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.
【思路探究】 利用圆的标准方程的几何特征解答．
【解】 (1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2)2，
∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2.
(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，
∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.
(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，
∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.
规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，a，b前的运算符号均为减号．
