第2课时 函数最值的求法
学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解极值与最值的区别与联系.(易混点)
2.会求函数在闭区间上的最值.(重点)
3.能利用导数解决与函数最值相关的综合问题.(难点)
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1.通过学习函数的最值概念,培养数学抽象素养.
2.利用导数求函数的最值,提升逻辑推理、数学运算素养.
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如图,在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
问题1:f(x)的最大值和最小值分别是多少?
问题2:你能指出最值与极值的关系吗?
函数的最值
(1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点;
(2)如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在最值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点.
拓展:求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值. ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值. ( )
(3)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.
( )
(4)若函数在给定闭区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,
但若有极值,则可有多个极值. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上( )
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
A [f′(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.]
3.函数f(x)=在区间[2,4]上的最小值为( )
A.0 B. C. D.
C [f′(x)==,当x∈[2,4]时,f′(x)<0,即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数,故当x=4时,函数f(x)有最小值.]
4.已知函数f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2,2]),f(x)的最小值为1,则m=________.
1 [f′(x)=-3x2+6x,x∈[-2,2].
令f′(x)=0,得x=0,或x=2,
当x∈(-2,0)时,f′(x)<0,
当x∈(0,2)时,f′(x)>0,
∴当x=0时,f(x)有极小值,也是最小值.
∴f(0)=m=1.]