第2课时 函数最值的求法
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解极值与最值的区别与联系．(易混点)
2．会求函数在闭区间上的最值．(重点)
3．能利用导数解决与函数最值相关的综合问题．(难点)
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1.通过学习函数的最值概念，培养数学抽象素养．
2．利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算素养.
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如图，在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值．
问题1：f(x)的最大值和最小值分别是多少？
问题2：你能指出最值与极值的关系吗？
函数的最值
(1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；
(2)如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点．
拓展：求函数的最值时，应注意以下几点：
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．
( )
(4)若函数在给定闭区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，
但若有极值，则可有多个极值． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
A [f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]
3．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0 B. C. D.
C [f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.]
4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
1 [f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.]
